메기 농장

부 뎅클렉은 메기 양어장을 가지고 있다. 양어장은 $N \times N$ 격자칸 모양이다. 격자의 칸들은 같은 크기의 정사각형이다. 격자의 열들은 서쪽에서 동쪽으로 $0$부터 $N - 1$까지 번호가 붙어 있고, 행들은 남쪽에서 북쪽으로 $0$부터 $N - 1$까지 번호가 붙어 있다. 열 $c$, 행 $r$에 ($0 \le c \le N - 1$, $0 \le r \le N - 1$) 있는 칸을 칸 $(c, r)$로 부른다.

양어장에는 $M$마리의 메기가 있다. 메기들은 $0$부터 $M - 1$까지 번호가 붙어 있고 모두 다른 칸에 있다. 각각의 $i$에 대해 ($0 \le i \le M - 1$), 메기 $i$는 칸 $(X[i], Y[i])$에 있고 그 무게는 $W[i]$그램이다.

부 뎅클렉은 메기를 잡기 위해 낚시터를 지으려고 한다. 열 $c$에 있는 길이 $k$인 낚시터는 ($0 \le c \le N - 1$, $1 \le k \le N$), 열 $c$의 행 $0$부터 행 $k - 1$까지를 덮는 직사각형이다. 즉, 낚시터는 칸들 $(c, 0), (c, 1), \ldots, (c, k - 1)$를 덮는다. 각 열에 대해서 부 뎅클렉은 특정한 길이의 낚시터를 짓거나 낚시터를 전혀 짓지 않는 것 중 선택을 할 수 있다.

메기 $i$를 ($0 \le i \le M - 1$) 잡기 위해서는 메기 $i$의 위치의 서쪽이나 동쪽에 인접한 칸을 낚시터가 덮어야 하며, 메기 $i$의 위치는 낚시터가 덮지 않아야 한다. 다시 말하면,

• 칸들 $(X[i] - 1, Y[i])$와 $(X[i] + 1, Y[i])$ 중 적어도 하나가 낚시터에 덮이고,
• 칸 $(X[i], Y[i])$는 낚시터에 덮이지 않아야 한다.

예를 들어 $N = 5$인 양어장에 $M = 4$마리의 메기가 있다고 하자.

• 메기 $0$의 위치는 칸 $(0, 2)$이고 그 무게는 $5$그램이다.
• 메기 $1$의 위치는 칸 $(1, 1)$이고 그 무게는 $2$그램이다.
• 메기 $2$의 위치는 칸 $(4, 4)$이고 그 무게는 $1$그램이다.
• 메기 $3$의 위치는 칸 $(3, 3)$이고 그 무게는 $3$그램이다.

부 뎅클렉이 낚시터를 지을 수 있는 방법 중 하나는 아래와 같다.

낚시터 짓기 전	낚시터 지은 후

칸에 표시된 자연수는 그 칸에 있는 메기의 무게이다. 색칠된 칸들이 낚시터에 덮인 곳이다. 이 경우 잡을 수 있는 메기는 메기 $0$ (칸 $(0, 2)$에 위치)과 메기 $3$ (칸 $(3, 3)$에 위치)이다. 메기 $1$ (칸 $(1, 1)$에 위치)은 그 칸이 낚시터에 덮여 있어 잡을 수 없다. 메기 $2$ (칸 $(4, 4)$에 위치)는 서쪽이나 동쪽에 인접한 칸이 낚시터로 덮인 것이 없어 잡을 수 없다.

부 뎅클렉은 잡을 수 있는 메기의 무게의 합이 가장 크도록 낚시터를 짓고 싶다. 잡을 수 있는 메기의 최대 무게 합을 계산하는 프로그램을 작성하라.

구현 세부사항

당신은 다음 함수를 구현해야 한다.

int64 max_weights(int N, int M, int[] X, int[] Y, int[] W)

• $N$: 양식장의 크기.
• $M$: 메기의 마리 수.
• $X$, $Y$: 메기의 위치를 표현한 크기 $M$인 배열들.
• $W$: 메기의 무게를 표현한 크기 $M$인 배열.
• 이 함수는 부 뎅클렉이 낚시터를 지어서 잡을 수 있는 최대의 메기 무게 합을 리턴해야 한다.
• 이 함수는 정확히 한 번 호출된다.

예제

다음 호출을 생각하자.

max_weights(5, 4, [0, 1, 4, 3], [2, 1, 4, 3], [5, 2, 1, 3])

이 예제는 위의 문제 설명에 있는 것과 같다.

문제 설명에 있는 것과 같이 낚시터를 지으면 부 뎅클렉은 메기 $0$과 $3$을 잡을 수 있고 무게의 합은 $5 + 3 = 8$그램이다. 이 방법이 최선이며 함수는 $8$을 리턴해야 한다.

제약 조건

• $2 \le N \le 100\;000$
• $1 \le M \le 300\;000$
• $0 \le X[i] \le N - 1$, $0 \le Y[i] \le N - 1$ ($0 \le i \le M - 1$)
• $1 \le W[i] \le 10^9$ ($0 \le i \le M - 1$)
• 메기들의 위치는 모두 다르다. 즉, $X[i] \ne X[j]$ 혹은 $Y[i] \ne Y[j]$이다 ($0 \le i < j \le M - 1$).

서브태스크

1. (3점) $X[i]$가 짝수 ($0 \le i \le M - 1$)
2. (6점) $X[i] \le 1$ ($0 \le i \le M - 1$)
3. (9점) $Y[i] = 0$ ($0 \le i \le M - 1$)
4. (14점) $N \le 300$, $Y[i] \le 8$ ($0 \le i \le M - 1$)
5. (21점) $N \le 300$
6. (17점) $N \le 3000$
7. (14점) 각 열에는 최대 $2$마리의 메기가 있다.
8. (16점) 추가적인 제한이 없다.

• line $1$: $N \; M$
• line $2 + i$ ($0 \le i \le M - 1$): $X[i] \; Y[i] \; W[i]$

샘플 그레이더는 다음 형식으로 답을 출력한다.

• line $1$: max_weights의 리턴 값

샘플 그레이더는 다음 형식으로 입력을 읽는다.